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Mapeador de texturas para caleidociclo hexagonal, un anillo de seis tetraedros de papel que puede girar sobre sí mismo sin fin (eversión). Al girarlo va mostrando cuatro mosaicos distintos, uno tras otro.
Carga o elige hasta cuatro imágenes, idealmente que sean equirectangulares, del doble de ancho que alto (proporción 2:1) que muestran todo el entorno visible en una proyección de 360° por 180°, o imágenes cuadradas, (de proporción 1:1) en lo posible con una proyección estereográfica (miniplaneta) para mejores resultados (o también un gráfico circular).
Asigna cada una a una fila del desarrollo, arrastrándola encima.
Revisa y ajusta el desarrollo y el modelo armado.
Exporta el PDF, imprímelo, recórtalo y ármalo.
Herramienta que genera el desarrollo imprimible de un caleidociclo hexagonal a partir de cuatro imágenes 360°.
Las matemáticas
El anillo
Seis disfenoides (tetraedros isósceles) unidos por aristas opuestas: 24 caras, 12 vértices, 6 bisagras. Los puntos medios de las bisagras caen en un círculo de radio R = 40√2 ≈ 56,57, alternando alturas ±20. Con esas medidas las bisagras vecinas quedan perpendiculares solas: no hay que imponerlo, sale de resolver el anillo.
La eversión
El anillo es un mecanismo sobreconstreñido de seis rótulas, tipo Bricard: el conteo genérico de movilidad da cero grados de libertad, pero el real es uno — se mueve igual. Su cinemática tiene forma cerrada, gobernada por una sola invariante entre los ángulos de bisagra pares e impares:
cos(φp/2) · cos(φi/2) = ½, con φp ∈ [−120°, 120°]
El ciclo se recorre parametrizado por longitud de arco, para que el giro se vea a velocidad pareja en vez de acelerar en los extremos.
El planeta diminuto
Proyección estereográfica con el polo en el nadir. El radio 1 del hexágono se lleva a una colatitud de 2·arctan(K) con K = 2,414, o sea unos 135°: por eso el suelo queda al centro, el horizonte forma un anillo y en las puntas entra el cielo.
Del hexágono al rombo
El hexágono se parte en tres rombos de diagonales en proporción √3, y cada uno va a un rombo del desarrollo, de proporción 160/80 = 2. Como los dos son paralelogramos, el mapeo entre ellos es una afín exacta; esa diferencia de proporción es justo lo que el plegado deshace, y por eso al armarlo el planeta vuelve a verse redondo.
Corte o pliegue
No hay ninguna lista escrita a mano: se deduce de la topología. Una arista compartida por dos triángulos es pliegue; la que aparece una sola vez está en el borde y es corte. De ahí sale que el desarrollo sea una sola pieza, y también se resuelve sola la costura donde el anillo cierra.
Créditos
Un proyecto realizado por Adrian Felipe Pera para la familia de proyectos perigami, con apoyo de Claude Code de Anthropic para el desarrollo web y cálculos matemáticos.
Las imágenes de muestra son tomadas del proyecto Pintando el Mundo que Soñamos (perigami.net/pms), un proyecto artístico de pintura sobre imágenes equirectangulares desarrollado por Adrian Felipe Pera con habitantes de la bioregión del Tequendama en 2025.
Librerías utilizadas: three.js (visor 3D),
jsPDF (exportación a PDF) y
JSZip (empaquetado del modelo 3D). La tipografía es JetBrains Mono.
A tool that generates the printable net of a hexagonal kaleidocycle from four 360° images.
The math
The ring
Six disphenoids (isosceles tetrahedra) joined at opposite edges: 24 faces, 12 vertices, 6 hinges. The hinge midpoints fall on a circle of radius R = 40√2 ≈ 56.57, alternating heights ±20. With those measurements, neighboring hinges end up perpendicular on their own: it is not imposed, it falls out of solving the ring.
The eversion
The ring is an overconstrained six-hinge mechanism, Bricard type: the generic mobility count gives zero degrees of freedom, but the real one is one — it still moves. Its kinematics has a closed form, governed by a single invariant between the odd and even hinge angles:
cos(φp/2) · cos(φi/2) = ½, with φp ∈ [−120°, 120°]
The cycle is parametrized by arc length, so the turn looks like an even speed instead of speeding up at the ends.
The tiny planet
Stereographic projection with the pole at the nadir. The hexagon’s radius 1 maps to a colatitude of 2·arctan(K) with K = 2.414, about 135°: that is why the ground sits at the center, the horizon forms a ring, and the sky enters at the tips.
From hexagon to rhombus
The hexagon splits into three rhombi with diagonals in a √3 ratio, and each one maps to a rhombus of the net, with a 160/80 = 2 ratio. Since both are parallelograms, the mapping between them is an exact affine map; that difference in proportion is exactly what the folding undoes, which is why the planet looks round again once it is assembled.
Cut or fold
There is no hand-written list: it is derived from the topology. An edge shared by two triangles is a fold; one that appears only once is on the boundary and is a cut. That is why the net comes out as a single piece, and also why the seam where the ring closes resolves on its own.
Credits
A project by Adrian Felipe Pera for the perigami family of projects, with support from Anthropic’s Claude Code for web development and mathematical calculations.
The sample images are taken from the project Pintando el Mundo que Soñamos (perigami.net/pms), an art project painting over equirectangular images, developed by Adrian Felipe Pera with residents of the Tequendama bioregion in 2025.
Con la versión gratuita, el ancho máximo es 24 cm y el desarrollo lleva una marca de agua. Con Caleidociclero+, de un solo pago, puedes exportar para siempre pdfs a máxima resolución y sin marca de agua.
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